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By Bernd Marx, Werner Vogt
Sehr viele Prozesse in Physik, Chemie, Biologie, Medizin und in den Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften werden durch Differenzialgleichungen beschrieben. Dieses Buch stellt leistungsfähige analytische und numerische Methoden bereit, um die in der Praxis auftretenden nichtlinearen Differenzialgleichungen und dynamischen Systeme zu analysieren. Die wichtigsten Methoden, Sätze und Beweistechniken für Differenzialgleichungen werden vorgestellt. Zum Einsatz kommen sowohl elementare analytische Techniken als auch qualitative, geometrische und numerische Verfahren. Der Klärung grundlegender Phänomene wie Stabilität und Lösungsverzweigungen dienen Grundlagen aus der Funktionalanalysis und der Bifurkationstheorie. Mit der breiten Verfügbarkeit von Computern mit enormer Rechnerleistung wird zugleich der Einsatz effizienter numerischer Methoden sinnvoll, da eine examine größerer Systeme nur mit Hilfe von Computern möglich ist. So werden aktuelle Näherungsverfahren einschließlich ihrer leicht programmierbaren Algorithmen vorgestellt und beispielhaft durch Anwendungen illustriert. Der Leser erhält damit eine kurze, zeitgemäße, anschauliche und vergleichsweise verständliche Einführung in die Theorie und die Numerik dynamischer Systeme einschließlich der Algorithmen. Das Buch versteht sich als Brücke zwischen einem elementaren Kurs über Differenzialgleichungen und der inzwischen sehr umfangreichen modernen Forschungsliteratur. Es ist für Master-Studierende und Forscher in Mathematik, Ingenieur- und Naturwissenschaften geschrieben und wird auch dem Praktiker von Nutzen sein.
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Example text
0 Nochmalige Integration über [0, s] liefert (man beachte x(0) = 0) s x(s) − x(0)s ˙ = r −μ s s x(t) dt dr = −μ 0 0 x(t) dr dt 0 t s = (s − t)x(t) dt . 39) in Verbindung mit der Randbedingung x(1) = 0: 1 x(0) ˙ =μ (1 − t)x(t) dt . 39) und Aufspalten der Integration über die Intervalle [0, s] und [s, 1], wobei s ∈ [0, 1], ergibt sich s 1 (s − t)x(t) dt = μs x(s) = x(0)s ˙ −μ 0 s (1 − t)x(t) dt − μ 0 s 1 (s(1 − t) − (s − t)) x(t) dt + μ = μ (s − t)x(t) dt 0 s(1 − t)x(t) dt . s 0 = t(1−s) Hierfür schreiben wir 1 x(s) = μ k(s, t)x(t) dt 0 mit der Greenschen Funktion (auch Kernfunktion) k(s, t) := t(1 − s) , falls 0 ≤ t ≤ s , s(1 − t) , falls s ≤ t ≤ 1 .
Somit hat man als notwendige Bedingung für die Injektivität die Ungleichung m ≥ n. Ein Beispiel für eine injektive Abbildung T = 0 mit m > n ist T : R → R2 , T x := T11 (x). T21 Wegen rang(T ) = 1 folgt dim ker(T ) = 0, was man auch direkt nachrechnet. 13) ist ker(T ) = {0}. Gilt hingegen für die Determinante det(T ) = 0, dann ist rang(T ) = n und ker(T ) = {0}. Damit hat man die Aussage: T ist entweder sowohl surjektiv als auch injektiv oder weder surjektiv noch injektiv. 23 (Differentialoperator) Der Operator T := d/dx : C 1 [a, b] → C 0 [a, b] , u→u ist nicht injektiv, da aus T u1 = T u2 nicht u1 = u2 folgt.
T ) ⇔ T − λI ∈ L(X, X) ist bijektiv. 34) die Stetigkeit der Inversen (T − λI)−1 folgt. 3. Es sei ker(T − λI) = {0}. Nur dann gibt es ein x ∈ X, x = 0 mit (T − λI)x = 0. Somit ist λ ein Eigenwert und sämtliche Eigenwerte liegen im Punktspektrum σp (T ). 4. Es sei X := Kn . Die Eigenwerte λ können durch die Berechnung der Determinate von (T − λI) charakterisiert werden. Es gilt die Aussage: det(T − λI) = 0 ⇔ ker(T − λI) = {0}. 22 ausgeführt – zur Folge: T − λI ist entweder sowohl surjektiv als auch injektiv oder weder surjektiv noch injektiv.