Download Einführung in die freie Geometrie ebener Kurven by L. Locher-Ernst PDF

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Dabei können wir den von X•x durchlaufenen Bogen derart beschränken, daß erstens alle X demselben der durch o, p, q bestimmten Punktgebiete und alle x demselben der durch 0, P,Q bestimmten Strahlenbereiche angehören und daß zweitens die Anwendung des Glättungssatzcs möglich ist. Ist nun P•P ein reguläres Element, so bewegen sich PX und PY als auch px und py je im gleichen (positiven) Sinne in P bzw. auf p. X gehört also zu P_ und x zu p_. Nach dem Glättungssatz bewegen sich OX und der Strahl von 0 nach px im gleichen Sinne, also gehört X zu 0_.

LSa bereits bewiesen. Der Sonderfallläßt sich am dritten Vorzeichen in den Signaturen der Tafel ablesen. Dieses Vorzeichen gibt das Verhalten von QX bzw. qt an. Sinnänderung tritt nur für das Pluszeichen ein, das heißt für den Fall eines regulären Elementes P•P oder einer Schnabelspitze. Nach Erklärung des elementaren Bogens führen OX und ox elementare Bewegungen aus, insbesondere heißt dies, daß diese Bewegungen nur endlich viele Umkehrstrahlen bzw. Umkehrpunkte besitzen. Hieraus und aus dem Hauptsatz folgt sofort: 16Aa.

Da sich aber von jedem Kurvenpunkt aus nach 11 Aa eine Umgebung (beidseitig) abgrenzen läßt, die einen einfachen Bogen darstellt, kann ein solcher Häutungspunkt nicht existieren. Man kann also Punkte A1 und C1 , A 2 und C2 , ••• derart wählen, daß die Bögen (S . 4 1 ... B 1 ... C1 ), (A 2 ... B 2 ... C2 ), ... eine endliche Anzahl einfacher Teilbögen von (S ... T) darstellen. Ordnung und Klasse von K müssen somit endlich sein. (Dies ergibt sich auch wie folgt: Angenommen, die Gerade g hätte mit K unbegrenzt viele Punkte gemeinsam.